Процесс развития, движения социально-экономических явлений во времени в статистике принято называть динамикой. Для отображения динамики строят ряды динамики (хронологические, временные), которые представляют собой ряды изменяющихся во времени значений статистического показателя, расположенных в хронологическом порядке.
Составными элементами ряда динамики являются показатели уровней ряда и показатели времени (годы, кварталы, месяцы, сутки) или моменты (даты) времени. Уровни ряда обычно обозначаются через «y», моменты или периоды времени, к которым относятся - через «t».
Существуют различные виды рядов динамики, которые классифицируют по следующим признакам :
Анализ скорости и интенсивности развития явления во времени осуществляется с помощью статистических показателей, возникающих в результате сравнения уровней между собой. К таким показателям относятся: абсолютный прирост, темп роста и прироста, абсолютное значение одного процента прироста. При этом принято сравниваемый уровень называть отчетным , а уровень, с которым происходит сравнение - базисным .
Абсолютный прирост (Δу) характеризует размер увеличения (или уменьшения) уровня ряда за определенный промежуток времени. Он равен разности двух сравниваемых уровней и выражает абсолютную скорость роста: Δy = у i -y i-k (i=1,2,3,...,n). Если k=1, то уровень y i-1 является предыдущим для данного уровня, а абсолютные приросты изменения уровня будут цепными. Если же k постоянны для данного ряда, то абсолютные приросты будут базисными.
Показатель интенсивности изменения уровня ряда - в зависимости от того, выражается ли он в виде коэффициента или в процентах, принято называть коэффициентом роста (темпом роста). Темп роста (t) показывает во сколько раз данный уровень ряда больше базисного уровня (если этот коэффициент больше единицы) или какую часть базисного уровня составляет уровень текущего периода за некоторый промежуток времени (если он меньше единицы): t = y i / y i-1 или t = y i / y 1
Темпа прироста (Δt) , характеризует относительную скорость изменения уровня ряда в единицу времени. Темп прироста показывает, на какую долю (или процент) уровень данного периода или момента времени больше (или меньше) базисного уровня. Находят темп прироста как отношение абсолютного прироста к уровню ряда, принятого за базу: Δt = Δy / y i-1 или Δt = Δy / y 1 или Δt = t-1 (Δt = t-100%). Если темп роста всегда положительное число, то темп прироста может быть положительным, отрицательным и равным нулю.
В статистической практике часто вместо расчета и анализа темпов роста и прироста рассматривают абсолютное значение одного процента прироста (А) . Оно представляет собой одну сотую часть базисного уровня и в то же время - отношение абсолютного прироста к соответствующему темпу прироста: А= Δy /(Δt*100) = y i-1 /100
Средний уровень ряда динамики рассчитывается по средней хронологической. Средней хронологической называется средняя, исчисленная из значений, изменяющихся во времени. Такие средние обобщают хронологическую вариацию. В хронологической средней отражается совокупность тех условий, в которых развивалось изучаемое явление в данном промежутке времени. Формулы для вычисления средних показателей ряда динамики представлены в таблице.
| Показатель | Обозначение и формула |
|---|---|
| Средний уровень интервального ряда динамики | |
| Средний уровень моментного ряда динамики | |
| Средний абсолютный прирост за весь период |  |
| Средний темп роста |  |
| Средний темп прироста |  |
Задача 1 . Данные о площадях под картофелем до и после изменения границ района, тысяч гектаров:
Сомкнуть ряд, выразив площадь под картофелем в условиях изменения границ района.
Решение
Примем за базу сравнения третий период – период, за который есть данные как в прежних, так и в старых границах района. Затем эти два ряда с одинаковой базой смыкаем в один.
Задача 2 . Имеется информация об экспорте продукции из региона за ряд лет:
Определить: 1) цепные и базисные: а) абсолютные приросты; б) темпы роста; в) темпы прироста; 2)абсолютное содержание одного процента прироста; 3) средние показатели: а) средний уровень ряда; б) среднегодовой абсолютный прирост; в) среднегодовой темп роста; г) среднегодовой темп прироста.
Решение
Напомним, что:
- если каждый текущий уровень сравнивать с предыдущим, то мы получим цепные показатели;
- если каждый текущий уровень сравнивать с первоначальным, то получим базисные показатели.
Для решения расширим предложенную таблицу.
Средний уровень ряда определим по средней арифметической простой: Уср=202467:4=50616,75 тыс. долларов США.
Среднегодовой абсолютный прирост определим по формуле:
= (64344-42376) / (4-1) = 7322,67 тыс. долларов США.
Среднегодовой темп роста определим по формуле:
3 √(64344:42376) = 1,15=115%
Среднегодовой темп прироста определим по формуле:
1,15-1=0,15=15%.
Задача 3 . По следующей информации определить средний размер имущества предприятия за квартал:
Решение
Средний размер имущества предприятия за квартал определим по формуле:
= (30/2 +40 +50 +30/2) / (4-1) = 40 млн. руб.
Различные экономические и другие показатели, которые даны за определённый период времени или по состоянию на некоторый момент, широко используются в практической статистике. Информация, основанная на этих показателях, называется рядами динамики . Абсолютные значения исследуемого явления в ряде динамики по состоянию на соответствующий период времени или момент называются уровнями ряда динамики. На их основе вычисляются важнейшие показатели рядов динамики и в математическом плане нужно лишь складывать, вычитать, делить, умножать и извлекать корень, а также помнить, что нельзя менять хронологическую последовательность уровней ряда динамики. А ещё на основе уже зафиксированных уровней ряда динамики можно прогнозировать значения уровней для будущих периодов и здесь уже начинается "взрослая" математика.
Главными показателями, характеризующими абсолютные и относительные изменения рядов динамики являются: абсолютный прирост (снижение), темп роста, темп роста, темп прироста, абсолютное значение одного процента прироста (снижения) .
Показатели рядов динамики по характеру их вычисления делятся на цепные и базисные .
Цепные показатели рядов динамики характеризуют интенсивность изменений от одного периода к другому периоду. Цепные показатели получают, сравнивая (вычитая или деля) два соседних уровня ряда динамики - следующий уровень и предыдущий уровень. Цепные показатели не зависят от длины ряда динамики и от того, какой уровень принят за его начало.
Базисные показатели рядов динамики - это показатели с постоянным базисом (началом). Они характеризуют конечные результаты всех изменений ряда динамики в сравнении с периодом (моментом), который принят за базисный период (момент).
Базисные показатели вычисляют, сравнивая каждый уровень ряда динамики с одним и тем же уровнем, принятым за базис. Обычно это первый (начальный) уровень ряда, хотя, если это продиктовано задачей анализа, за базисный уровень можно принять любой другой уровень. Если начальный уровень ряда динамики для изучаемого явления или процесса представляет нетипично высокий или нетипично низкий, то рассчитанные по сравнению с ним показатели рядов динамики могут оказаться мало полезными для задачи анализа.
Введём следующие обозначения:
Будем рассчитывать показатели для ряда динамики, данного в следующей таблице:
Таблица. Объёмы экспорта предприятия "Х", в миллионах руб.
| Год | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 |
| Объём | 1256,4 | 1408,8 | 1650,6 | 2150,0 | 2888,2 |
Абсолютный прирост (снижение) выражает абсолютные изменения уровней рядов динамики - прирост или снижение - по сравнению с каким-либо достигнутым уровнем. Различается цепной и базисный абсолютный прирост (снижение).
Цепной абсолютный прирост (снижение) вычисляется путём вычитания из какого-либо уровня ряда динамики предыдущего уровня того же ряда.
Пример 1. Вычислим цепной абсолютный прирост:
Δа (ц ) = Y m − Y m−1
Δц (2014 ) = 1408,8 − 1256,4 = 152,4 .
Δц (2015 ) = 1650,6 − 1408,8 = 241,8 .
Δц (2016 ) = 2150,0 − 1650,6 = 499,4 .
Δц (2017 ) = 2888,2 − 2150,0 = 738,2 .
Общий объём экспорта предприятия "Х" с 2013 по 2017 годы составляет Δц (2014 ) + Δц (2015 ) + Δц (2016 ) + Δц (2017 ) = 1631,8 млн. руб.
Базисный абсолютный прирост вычисляется путём вычитания из какого-либо уровня ряда динамики начального уровня ряда, который принимается за базис.
Пример 2. Вычислим базисный абсолютный прирост:
Δа (б ) = Y m − Y 1
Δб (2014 ) = 1408,8 − 1256,4 = 152,4 .
Δб (2015 ) = 1650,6 − 1256,4 = 394,2 .
Δб (2016 ) = 2150,0 − 1256,4 = 893,6 .
Δб (2017 ) = 2888,2 − 1256,4 = 1631,8 .
Между цепным и базисным абсолютным приростами существует математическая взаимосвязь : сумма цепных абсолютных приростов (снижений) равна базисному абсолютному приросту (снижению), соответствующему последнему уровню ряда динамики:
Показатель интенсивности изменения ряда динамики, в зависимости от того, выражен он в виде коэффициента или в процентах, называется коэффициентом роста или темпом роста.
Коэффициент роста показывает, во сколько раз соответствующий уровень ряда динамики больше базисного уровня (если коэффициент больше единицы) или какую часть базисного уровня представляет уровень отчётного периода (если он меньше единицы).
Темп роста характеризует скорость развития исследуемого явления.
Коэффициент роста и темп роста - это две формы выражения интенсивности изменений и разница между ними только в единицах измерения.
Коэффициент роста × 100 = темп роста, %.
Если абсолютные уровни исследуемого явления снижаются, то темп роста меньше единицы (меньше 100 %), однако он никогда не может быть отрицательным числом . Существуют цепные и базисные темпы роста. Цепной темп роста вычисляется путём деления уровня ряда динамики на предыдущий уровень ряда:
Общий темп роста за весь период вычисляется путём умножения всех темпов роста:
Пример 3. Вычислим цепные темпы роста:
T ц (2014 ) = 1408,8: 1256,4 = 1,121 = 112,1 % .
T ц (2015 ) = 1650,6: 1408,8 = 1,172 = 117,2 % .
T ц (2016 ) = 2150,0: 1650,6 = 1,303 = 130,3 % .
T ц (2017 ) = 2888,2: 2150,0 = 1,343 = 134,3 % .
Общий темп роста за весь период:
T ц (2014-2017 ) = 1,121 × 1,172 × 1,303 × 1,343 = 2,299 = 229,9 % .
Базисный темп роста вычисляют путём деления какого-либо уровня ряда динамики на начальный уровень, который считают базисным:
Пример 4. Вычислим базисные темпы роста:
T б (2014 ) = 1408,8: 1256,4 = 1,121 = 112,1 % .
T б (2015 ) = 1650,6: 1256,4 = 1,319 = 131,9 % .
T б (2016 ) = 2150,0: 1256,4 = 1,711 = 171,1 % .
T б (2017 ) = 2888,2: 1256,4 = 2,299 = 229,9 % .
Между цепным и базисным темпами роста существует математическая взаимосвязь : произведение цепных темпов роста равно базисному темпу роста для последнего уровня ряда динамики:
Коэффициент прироста показывает, на какую часть целого увеличился или уменьшился соответствующий уровень ряда динамики по сравнению с каким-либо достигнутым уровнем, а темп прироста - на сколько процентов. Темп прироста вычисляется путём вычитания из темпа роста единицы (если используется коэффициент роста) или 100 процентов (если темп роста выражен в процентах).
Таким образом, формулы для вычисления коэффициента прироста:
K пр (ц ) = T р (ц ) − 1
K пр (б ) = T р (б ) − 1 .
Например,
1,299 = 2,299 − 1,0 .
Формулы для вычисления темпа прироста:
T пр (ц ) = T р (ц ) − 100 %
T пр (б ) = T р (б ) − 100 % .
Например,
129,9 = 229,9 % − 100,0 % .
В отличие от темпов роста, темпы прироста могут быть и отрицательными числами . В этом случае они показывают, на какую часть целого или на сколько процентов снизился уровень исследуемого явления.
Между цепным и базисным темпами прироста нет математической взаимосвязи.
Абсолютное значение 1 процента прироста (снижения) выражает реальное содержание темпа прироста (снижения). На практике могут встречаться значительные темпы прироста, но совсем ничтожное абсолютное увеличение явления и наоборот - небольшие темпы прироста, но значительное увеличение. Абсолютное значение 1 процента прироста (снижения) рассчитывается путём деления суммы цепных абсолютных приростов или базисного абсолютного прироста на темп прироста:
.
Например,
Средние значения показателей рядов динамики выражают уровни и типичные значения их изменений в определённый период времени. Прежде чем рассматривать средние значения показателей рядов динамики, разграничим понятия интервальных и моментных рядов динамики.
Интервальные ряды динамики характеризуют значения изучаемого явления за некоторый период времени, например, за месяц, за год, за пять лет. Моментные ряды динамики характеризуют значения изучаемого явления в какой-то определённый момент времени, например, на начало или конец месяца, начало или конец года и так далее. В предыдущем параграфе мы рассматривали интервальный ряд динамики и его показатели.
Средний уровень интервального ряда динамики вычисляется путём деления суммы уровней ряда на число уровней:
.
Пример 5. Вычислить среднегодовой объём экспорта предприятия "Х".
Решение. Вычислим средний уровень по формуле для интервального ряда динамики:
Средний уровень моментного ряда динамики , если между моментами - равные промежутки времени, вычисляется по формуле средней хронологической:
.
Пример 6. Вычислить среднее число сотрудников предприятия "Х" на начало года. В таблице ниже даны значения числа сотрудников на начало каждого года с 2013 по 2017 годы.
Решение. Вычисляем по формуле хронологической средней:
Если между моментами ряда динамики - не равные промежутки времени, средний уровень моментного ряда вычисляется по формуле средней хронологической взвешенной:
В этой формуле y 1 - y n - уровни ряда динамики, t 1 - t n - периоды времени, например, 1 месяц, 2 месяца, 1 год, 2 года, 3 года... Все периоды времени должны выражаться в одной и той же единице измерения (днях, месяцах, годах и др.).
Средний абсолютный прирост (снижение) выражает абсолютную величину, на которую в среднем в каждую единицу времени в соответствующий период выросли или снизились показатели исследуемого явления. Его вычисляют путём деления суммы цепных абсолютных приростов на число абсолютных приростов:
,
где - число абсолютных приростов.
Если нет данных о цепных абсолютных приростах, но известны начальный и конечный уровни ряда динамики, то средний абсолютный прирост можно вычислить через базовый абсолютный прирост по формуле
Пример 7. Используя данные об экспорте предприятия "Х", вычислить среднегодовой прирост экспорта.
Решение. Вычислим интересующий нас показатель через сумму цепных абсолютных приростов:
.
Вычислим его же через базовый абсолютный прирост:
Как видим, получили один и тот же результат.
Средний темп роста является показателем изменения интенсивности изменения уровней ряда динамики. Он характеризует среднюю интенсивность развития исследуемого явления, показывая, во сколько раз в среднем в единицу времени изменились уровни ряда динамики. Средний темп роста можно выразить в коэффициентах или процентах.
Цепной средний темп роста вычисляется по формуле среднего геометрического:
,
где n - число цепных темпов роста,
T - индивидуальные цепные темпы роста, выраженные в коэффициентах.
Если нет информации о каждом цепном темпе роста, средний темп роста можно вычислить по формуле с использованием последнего и первого уровней ряда динамики
Пример 8. Вычислить средний темп роста экспорта предприятия "Х".
Решение. Вычисляем по формуле среднего геометрического:
Вычисляем по формуле с использованием последнего и первого уровней ряда динамики:
.
Получили один и тот же результат.
Средний темп прироста показывает, на сколько процентов в среднем увеличился (если он со знаком "плюс") или уменьшился (если со знаком "минус") уровень исследуемого явления в течение всего рассматриваемого периода. Средний темп прироста вычисляется путём вычитания из среднего темпа роста 100% (если он выражен в процентах) или единицы (если он выражен в виде коэффициента).
В нашем примере:
Модели на основе средних значений могут быть использованы, когда значение уровня ряда динамики колеблется вокруг среднего значения и в ряде нет какой-либо ярко выраженной тенденции (тренда).
В прогнозировании значение скользящей средней (обозначим её M t ) вычисляется по формуле
,
где N - длина интервала сглаживания.
В этом случае среднее значение, которое используется для прогноза, является адаптивным средним. При пронозировании принимается, что это адаптивное среднее значение является самым лучшим (наиболее вероятным) значением для следующего периода. Обозначим прогнозируемое значение через F t . Тогда
F t+1 = M t .
Пример 9. Рассмотрим пример с данными об объёмах продаж холодильников предприятия "Х" по месяцам.
При рассмотрении графика объёма продаж видно, что изменения объёма не подвержены какой-либо долгосрочной тенденции или тренду, объёмы продаж колеблются вокруг среднего значения.
Поэтому при расчёте прогноза можно использовать среднее значение. Вычислим значения скользящей средней по приведённой выше формуле:
для третьего месяца - 
,
для четвёртого месяца - 
Результаты даны в третьем столбце таблицы (для первых двух месяцев по этой формуле скользящие средние вычислить невозможно).
| Месяцы t | Объёмы продажи холодильников y t | Скользящая средняя M t |
| 1 | 113 | - |
| 2 | 117 | - |
| 3 | 112 | 114 |
| 4 | 113 | 114 |
| 5 | 108 | 111 |
| 6 | 112 | 111 |
| 7 | 116 | 112 |
| 8 | 120 | 116 |
| 9 | 121 | 119 |
| 10 | 113 | 118 |
| 11 | 111 | 115 |
| 12 | 118 | 114 |
| Прогноз F t | Погрешность прогноза ε t |
| - | - |
| - | - |
| - | - |
| 114 | -1 |
| 114 | -6 |
| 111 | 1 |
| 111 | 5 |
| 112 | 8 |
| 116 | 5 |
| 119 | -6 |
| 118 | -7 |
| 115 | 3 |
Наиболее вероятные прогнозы на каждый месяц по соответствующей формуле даны в четвёртом столбце таблицы. Прогноз на первый месяц следующего года F 13 = 114 можно сделать по данным трёх последних месяцев.
При использовании модели среднего значения прогнозы зависят от длины интервала сглаживания. Поэтому закономерен вопрос: как выбрать интервал и какая величина - "лучшая" для интервала? Для ответа на этот вопрос нужно оценить погрешность прогноза среднего для различных интервалов сглаживания и выбрать тот, у которого случайная ошибка прогноза - наименьшая.
Погрешность прогноза для каждого момента времени вычисляется по формуле
ε t = y t − F t .
Среднюю погрешность прогноза на основе скользящей средней обычно вычисляется как среднее абсолютное отклонение, которое обозначается MAD (Mean Absolute Deviation):
где n - число вычисленных ошибок.
При оценке прогноза можно использовать также среднюю квадратическую погрешность и среднюю абсолютную процентную ошибку.
Средняя квадратическая погрешность MSE (Mean Squared Error) вычисляется по формуле
.
Средняя абсолютная процентная ошибка MAPE (Mean Absolute Percenting Error) вычисляется по формуле
.
Пример 10. В нашем случае, когда N =3, MAD=4,67. Для значений N от 2 до 6 значения MAD следующие:
| N | MAD |
| 2 | 4,50 |
| 3 | 4,67 |
| 4 | 4,78 |
| 5 | 4,11 |
| 6 | 4,42 |
На основе этих значений погрешности можем сделать вывод, что при использовании интервала сглаживания длиной в пять периодов можно получить наилучший прогноз с точки зрения минимального среднего абсолютного отклонения. С использованием такого интервала сглаживания получаем прогноз: наиболее вероятно, что в первый месяц следующего года будут проданы 116 холодильников:
F 13 = (118 + 111 + 113 + 121 + 120)/5 = 116,6 .
При использовании формулы значения скользящей средней каждому уровню ряда динамики в границах периода сглаживания присваивается один и тот же вес. Так, если N =3, то вес соответствует 1/3, поэтому формулу в этом случае можно записать так:
M t = (1/3)y t + (1/3)y t−1 + (1/3)y t−2 .
Но можно использовать и скользящие средние значения с различными весами - так называемые скользящие средневзвешенные. При этом нужно соблюдать условие: сумма весов равна единице. Например, при N =3 можно использовать весы 3/5, 1/5, 1/5. В этом случае
M t = (3/5)y t + (1/5)y t−1 + (1/5)y t−2 .
Модели прогнозирования на основе скользящей средней и скользящей средневзвешенной имеют существенный недостаток: для вычисления пронозируемого значения используются только последние N уровней ряда динамики и только для вычисления погрешности используются предыдущие n − N уровней. Поэтому для прогнозирования средних значений рядов динамики используются и другие методы.
Основная формула значения экспоненциальной средней:
F t+1 = αy t + (1 − α )F t ,
где α - параметр экспоненциального сглаживания, который может принимать значения от 0 до 1.
Таким образом, прогноз для каждого следующего периода строится на среднем взвешенном значении предыдущего уровня ряда динамики и значении предыдущего прогноза. Например, для прогноза значения четвёртого уровня ряда динамики формула будет следующей:
F 4 = αy 3 + (1 − α )F 3 ,
для прогноза третьего уровня
F 3 = αy 2 + (1 − α )F 2 ,
для прогноза второго уровня
F 2 = αy 1 + (1 − α )F 1 . ,
То есть в прогнозе используется среднее взвешенное значение от y 3 и F 3 с весами α и 1 − α .
В общем случае прогноз на каждый следующий период является средней взвешенной величиной от всех предыдущих уровней ряда динамики.
Вернёмся к уравнениям прогноза значений третьего и четвёртого уровней ряда динамики. Подставляя каждое следующее уравнение в предыдущее, получаем
или в общем виде
.
Таким образом, в общем случае прогнозируемое значение вычисляется с использованием всех уровней ряда динамики путём их умножения на соответствующие коэффициенты (весы): или .
Так как параметр экспоненциального сглаживания α принимает значения от 0 до 1, эти коэффициенты образуют убывающую геометрическую прогрессию с первым членом a 1 = α и квоциентом q = 1 − α . То есть они подчинены экспоненциальному закону распределения. Например, если α = 0,5 , то α (1 − α ) = 0,25 , α (1 − α )² = 0,125 и так далее. Если α = 0,2 , то α (1 − α ) = 0,16 , α (1 − α )² = 0,128 и так далее. На графике можно видеть, что весы экспоненциально убывают, но в первом случае более стремительно, а во втором - медленнее.
В зависимости от величины параметра экспоненциального сглаживания α различным уровням ряда динамики можно присвоить различные весы. Например, если о прогнозируемом показателе известно, что на его будущие значения больше влияют более близкие из предыдущих уровней ряда, то параметр α должен быть больше, чем в случае, когда бОльшее влияние оказывают более ранние значения ряда динамики. А если бОльшее влияние оказывают более ранние значения, то параметр α должен быть меньше.
В практических вычислениях принимают, что F 1 = y 1 , так как необходимые для вычисления F 1 значения y 0 и F 0 неизвестны.
Пример 11. Сделаем прогноз методом экспоненциального сглаживания для ряда динамики, содержащего данные об объёмах продажи холодильников предприятия "Х" из предыдущих примеров.
F 1 = y 1 = 113,0
F 2 = 0,2⋅113 + (1 − 0,2)⋅113,0 = 113,0
F 3 = 0,2⋅117 + (1 − 0,2)⋅113,0 = 113,8
F 4 = 0,2⋅112 + (1 − 0,2)⋅113,8 = 113,44
Прогноз на первый месяц следующего года:
F 13 = 0,2⋅118 + (1 − 0,2)⋅114,33 = 115,06 .
Значения экспоненциальной средней, если принимаем, что α = 0,2 , даны в третьем столбце таблицы.
| Прогноз (α = 0,2 ) F t | Погрешность прогноза ε t |
| 113,0 | 0 |
| 113,0 | 4 |
| 113,8 | -1,8 |
| 113,44 | -0,44 |
| 114,35 | -6,35 |
| 112,28 | -0,28 |
| 112,23 | 3,77 |
| 112,98 | 7,02 |
| 114,38 | 6,62 |
| 115,71 | -2,71 |
| 115,17 | -4,17 |
| 114,33 | 3,67 |
Прогноз можно уточнить, если выбрать более оптимальное значение α : такое, при использовании которого средняя погрешность прогноза - наименьшая. Выберем MSE в качестве величины, характеризующей погрешность. Эта погрешность для различных значений α следующая:
| α | MSE |
| 0,01 | 4,01 |
| 0,02 | 4,00 |
| 0,05 | 3,97 |
| 0,10 | 3,97 |
| 0,15 | 3,98 |
| 0,20 | 4,02 |
| 0,25 | 4,05 |
| 0,30 | 4,08 |
| 0,35 | 4,13 |
| 0,40 | 4,16 |
| 0,45 | 4,20 |
| 0,50 | 4,23 |
Видим, что наименьшая погрешность прогноза для данного ряда динамики при использовании метода экспоненциального выравнивания соответствует значениям α от 0,05 до 0,15. Примем за оптимальное значение в середине между этими двумя, то есть 0,1. Тогда получим следующий прогноз объёма продаж: 114,3.
Формулу экспоненциальной средней можно преобразовать, чтобы в прогнозе учитывалась погрешность прогноза для предыдущего периода:
F t+1 = αy t + (1 − α )F t
F t+1 = αy t + F t − α F t
F t+1 = F t + α (y t − F t )
F t+1 = F t + α ε t ).
Как показывает последнее выражение, прогноз по методу экспоненциальной средней образуется из прогноза с экспоненциальным средним значением прошлого периода с прибавлением погрешности ошибки, умноженной на параметр сглаживания α . Если погрешность больше нуля, это означает, что предыдущий прогноз был меньше фактического значения и следующий прогноз будет соответственно увеличен. Если погрешность меньше нуля, то прогноз был меньше фактического значения и прогноз на следующий период будет соответственно уменьшен.
Доверительный интервал прогноза определяется путём вычисления стандартной погрешности s ε .
Фактически можно принять, что в 68 % случаев прогнозы находятся в интервале Ft ± s ε , а в 95 % случаев - в интервале Ft ± 2s ε .
Чтобы вычислить s ε , можно использовать значение средней абсолютной погрешности MAD или значение средней квадратической погрешности MSE:
.
Пример 12. В нашем примере с объёмами продажи холодильников стандартная прогрешность для прогноза по методу скользящей средней, если N =5, равна . Это означает, что для 8 месяцев (0,68⋅12) прогноз должен быть с округлением в пределах от 112 до 122 (116,6±5,1), а для 11 месяцев (0,95⋅12) - в пределах от 106 до 127 (116,6±2⋅5,1).
Стандартная погрешность прогноза по методу экспоненциального сглаживания, если
α
=0,1, составляет 
.
Это означает, что в 68 % случаях прогноз с округлением должен находиться в границах от 110 до 118
(114,3±4,1), а в 95 % - в границах от 106 до 123 (114,3±2⋅4,1).
Изменение социально-экономических явлений во времени изучается статистикой методом построения и анализа динамических рядов.
Ряды динамики - это значения статистических показателей, которые представлены в определенной хронологической последовательности.
Каждый динамический ряд содержит две составляющие:
1) показатели периодов времени (годы, кварталы, месяцы, дни или даты);
2) показатели, характеризующие исследуемый объект за временные периоды или на соответствующие даты, которые называют уровнями ряда.
По времени различают моментные и интервальные ряды динамики .
В моментных рядах уровни выражают состояние явления на критический момент времени – начало месяца, квартала, года и т.д. Например, численность населения, численность работающих и т.д. В таких рядах каждый последующий уровень полностью или частично содержит значение предыдущего уровня, поэтому суммировать уровни нельзя, так как это приводит к повторному счету.
В интервальных – уровни отражают состояние явления за определенный период времени – сутки, месяц, год и т.д. Это ряды показателей объема производства, объема продаж по месяцам года, количества отработанных человеко-дней и т.д.
По форме представления уровней различают ряды абсолютных, относительных и средних величин .
Абсолютное изменение уровней - в данном случае его можно назвать абсолютным приростом - это разность между сравниваемым уровнем и уровнем более раннего периода, принятым за базу сравнения. Если эта база непосредственно предыдущий уровень, показатель называют цепным, если за базу взят, например, начальный уровень, показатель называют базисным. Формулы абсолютного изменения уровня:
Если абсолютное изменение отрицательно, его следует называть абсолютным сокращением.
Ускорение - это разность между абсолютным изменением за данный период и абсолютным изменением за предыдущий период одинаковой длительности:
Показатель абсолютного ускорения применяется только в цепном варианте, но не в базисном. Отрицательная величина ускорения говорит о замедлении роста или об ускорении снижения уровней ряда.
Коэффициент роста Ki определяется как отношение данного уровня к предыдущему или базисному, показывает относительную скорость изменения ряда. Если коэффициент роста выражается в процентах, то его называют темпом роста.
Коэффициент роста
базисный -
или же темпом прироста.
Значения цепных темпов прироста, рассчитанных каждый к своей базе, различаются не только числом процентов, но и величиной абсолютного изменения, составляющей каждый процент. Поэтому складывать или вычитать цепные темпы прироста нельзя. Абсолютное значение 1% прироста равно сотой части предыдущего уровня, или базисного уровня.
В общем виде темп роста одной из альтернативных долей зависит от темпа роста другой доли и величины этой доли следующим образом:
Абсолютное изменение долей в пунктах зависит от величины доли и темпа роста таким образом:
При наличии в совокупности не двух, а более групп абсолютное изменение каждой из долей в пунктах зависит от доли этой группы в базисный период и от соотношения темпа роста абсолютной величины объемного признака этой группы со средним темпом роста объемного признака во всей совокупности. Доля f-й группы в сравниваемый (текущий) период определяется как
Средние показатели динамики - средний уровень ряда, средние абсолютные изменения и ускорения, средние темпы роста - характеризуют тенденцию.
Средний уровень интервального ряда динамики определяется как простая арифметическая средняя из уровней за равные промежутки времени:
или как взвешенная арифметическая средняя из уровней за неравные промежутки времени, длительность которых и является весами.
Особая форма средней арифметической величины, называемой хронологической средней:
Если известны точные даты изменения уровней моментного ряда то средний уровень определяется как
где ti - время, в течение которого сохранялся уровень.
Средний абсолютный прирост (абсолютное изменение) определяется как простая арифметическая средняя из абсолютных изменений за равные промежутки времени (цепных абсолютных изменений) или как частное от деления базисного абсолютного изменения на число осредняемых отрезков времени от базисного до сравниваемого периода:
Средний темп изменения определяется наиболее точно при аналитическом выравнивании динамического ряда по экспоненте. Если можно пренебречь колеблемостью, то средний темп определяют как геометрическую среднюю из цепных темпов роста за п лет или из общего (базисного) темпа роста за п лет:
Средний коэффициент роста () рассчитывается по формуле средней геометрической из показателей коэффициентов роста за отдельные периоды:
где Кр1 , Кр2 , ..., Кр n-1 - коэффициенты роста по сравнению с предыдущим периодом; n - число уровней ряда.
Средний коэффициент роста можно определить иначе.
Средний уровень ряда определяет обобщенную величину абсолютных уровней. Он определяется по средней, исчисленной из значений, меняющихся во времени. Методы расчета среднего уровня интервального и моментного рядов динамики разные.
Средний уровень из абсолютных уровней для интервальных рядов динамики рассчитывается по формуле :
1. При равных интервалах используют среднюю арифметическую простую:
Где у - абсолютные уровни ряда;
n - число уровней ряда.
2. При неравных интервалах используют среднюю арифметическую взвешенную:
где у1,…,уn - уровни ряда динамики;
t1,… tn - веса, длительность интервалов времени.
Средний уровень моментного ряда динамики рассчитывается по формуле:
1. С равностоящими уровнями рассчитывается по формуле средней хронологической моментного ряда:
Где у1,…,уn - уровни периода, за который делается расчет;
n - число уровней;
n-1 - длительность периода времени.
2. С неравностоящими уровнями рассчитывается по формуле средней хронологической взвешенной:
Где у1,…,уn - уровни рядов динамики;
t - интервал времени между смежными уровнями
Определяется как среднее из абсолютных приростов за равные промежутки времени одного периода. Он рассчитывается по формулам:
1. По цепным данным об абсолютных приростах за ряд лет рассчитывают средний абсолютный прирост как среднюю арифметическую простую:
где n - число степенных абсолютных приростов в исследуемом периоде.
2. Средний абсолютный прирост рассчитывают через базисный абсолютный прирост в случае равных интервалов
где m - число уровней ряда динамики в исследуемом периоде, включая базисный.
Есть свободная обобщающая характеристика интенсивности изменения уровней и показывает, во сколько раз в среднем за единицу времени изменяется уровень ряда динамики.
В качестве основы и критерия правильности вычисления среднего темпа роста (снижения) применяется обобщающий показатель, который рассчитывается как произведение цепных темпов роста, равное темпу роста за весь рассматриваемый период. Если значение признака образуется как произведение отдельных вариантов, то используют среднюю геометрическую.
Так как средний темп роста представляет собой средний коэффициент роста, выражен в процентах, то для равностоящих рядов динамики расчеты по средней геометрической сводятся к вычислению средних коэффициентов роста из цепных по «цепному способу»:
Где n - число цепных коэффициентов роста;
Кц - цепные коэффициенты роста;
Кб - базисный коэффициент роста за весь период.
Определение среднего коэффициента роста может быть упрощено, если будут ясны уровни динамического ряда. Так как произведение цепных коэффициентов роста равно базисному, то в подкоренное выражение подставляют базисный коэффициент роста.
Формула для определения среднего коэффициента роста для равностоящих рядов динамики по «базисному способу» будет такая:
Средние темпы прироста рассчитываются на основе средних темпов роста (Тр) вычитанием из последних 100%:
Для того чтобы определить средний коэффициент прироста (Кпр), нужно из значений коэффициентов роста (Кр) вычесть единицу.
РЯДЫ ДИНАМИКИ. КЛАССИФИКАЦИЯ.
Рядами динамики наз. стат. данные, отображающие развитие изучаемого явления во времени. В каждом ряду динамики имеются два основных эл-та: показатель времени t; соответствующие им уровни развития изучаемого явления у. В кач-ве показаний времени в рядах динамики выступают либо опр. даты времени, либо отдельные периоды.
Уровни рядов динамики отображают колич-ную оценку развития во времени изучаемого явления. Они могут выражаться абсолютными, относительными или средними величинами.
В зависимости от хар-ра изучаемого явления уровни рядов динамики могут относиться или к опр. датам, или к отдельным периодам. В соответствии с этим, ряды динамики делятся на моментные и интервальные.
Моментные ряды динамики отображают состояние изучаемых явлений на определенные даты (моменты) времени. Особенностью моментного ряда динамики является то, что в его уровни могут входить одни и те же единицы изучаемой совокупности. Так, основная часть персонала фирмы N, составляющая списочную численность на 1.01.1994г., продолжающая работать в течение данного года, отображена в уровнях последующих периодов. Поэтому при суммировании уровней моментного ряда динамики может возникнуть повторный счет.
Интервальные ряды динамики отображают итоги развития изучаемых явлений за отдельные периоды (интервалы) времени. Особенностью интервального ряда динамики является то, что каждый его уровень складывается из данных за более короткие интервалы времени. Например, суммируя товарооборот за первые три месяца года, получают его объем за I квартал, а сумма товарооборота четырех кварталов дает объем товарооборота за год и т.д.
Ряды динамики могут быть полными и неполными .
Полный - в котором одноименные моменты времени или периоды времени строго следуют один за другим в календарном порядке или равноотстоят друг от друга.Неполный - в котором уровни зафиксированы в неравноотстоящие моменты.
Чтобы анализ ряда был объективен, необходимо учитывать события, приводящие к несопоставимости уровней ряда и использовать приемы приведения рядов в сопоставимый вид. Наиболее характерные случаи несопоставимости уровней ряда динамики:
Территориальные изменения объекта исследования, к которому относится изучаемый показатель.
Разновеликие интервалы времени, к которым относится показатель.
Изменение даты учета.
Изменение методологии учета или расчета показателя.
Изменение цен.
Изменение единиц измерения.
Для приведения ряда в сопоставимый вид необходимо для 1984 года знать численность населения в старых и новых границах района для определения коэфф. пересчета: К=34,2/22,8=1,5 Все уровни ряда до 1984 года, умножаются на коэфф. К и ряд принимает вид:
После этого преобразования ряда динамики возможен дальнейший анализ ряда.
В качестве обобщенной характеристики уровней ряда динамики служит средний уровень ряда динамики. В зависимости от типа ряда динамики используются различные расчетные формулы.
Интервальный ряд абсолютных величин с равными периодами (интервалами времени): . Моментный ряд с равными интервалами между датами:. Моментный ряд с неравными интервалами между датами:. гдеy i - уровни ряда, ПОКАЗАТЕЛИ АНАЛИЗА РЯДОВ ДИНАМИКИ
Одним из важнейших направлений анализа рядов динамики явл. изучение особенностей развития явления за отдельные периоды времени.
Для динамических рядов рассчитывают ряд показателей: К - темпы роста; ?y- абсолютные приросты;?K- темпы прироста.
Темп роста - относительный показатель, получающийся в результате деления двух уровней одного ряда друг на друга. Могут рассчитываться как цепные, когда каждый уровень ряда сопоставляется с предшествующим ему уровнем:, либо как базисные, когда все уровни ряда сопоставляются с одним и тем же уровнемy 0 , выбранным за базу сравнения:. Темпы роста могут быть представлены в виде коэффициентов либо в виде процентов.Абсолютный прирост - разность между двумя уровнями ряда динамики, имеет ту же размерность, что и уровни самого ряда динамики. Абсолютные приросты могут быть цепными и базисными, в зависимости от способа выбора базы для сравнения:
цепной абсолютный прирост -; базисный абсолютный прирост -. Для относительной оценки абсолютных приростов рассчитываются показатели темпов прироста.Темп прироста - относительный показатель, показывающий на сколько процентов один уровень ряда динамики больше (или меньше) другого, принимаемого за базу для сравнения. Базисные и цепные темпы прирос:.?y б и?y ц - абсолютный базисный или цепной прирост;y 0 - уровень ряда динамики, выбранный за базу для определения базисных абсолютных приростов;y i -1 - уровень ряда динамики, выбранный за базу для определения i-го цепного абсолютного прироста.
К = К - 1 или?К = К - 100 % (если темпы роста определены в процентах).
Если разделить абсолютный прирост (цепной) на темп прироста (цепной) за соответствующий период, получим показатель, называемый - абсолютное значение одного процентаприроста :.
По показателям изменения уровней ряда динамики (абсолютные приросты, темпы роста и прироста), полученным в результате анализа исходного ряда, могут быть рассчитаны обобщающие показатели в виде средних величин - средний абсолютный прирост, средний темп роста, средний темп прироста.
Средний абсолютный прирост может быть получен по одной из формул: или, где n - число уровней ряда динамики;y 1 - первый уровень ряда динамики;y n - последний уровень ряда динамики;
y ц i - цепные абсолютные приросты.
